\section{Функции}

\subsection*{60}

а) $f(A' \cap A'') \neq f(A') \cap f(A'')$ 

Пусть $A' = (- \infty ; 0],\, A'' = [0; \infty)$, а $f: x \rightarrow x^2$. Тогда $f(A' \cap A'') = 0$, при этом $f(A') \cap f(A'') = \mathbb{R}_+$, очевидно $f(A' \cap A'') \neq f(A') \cap f(A'')$\\

Но при этом $f(A' \cap A'') \subseteq f(A') \cap f(A'')$ 

При любом $y \in f(A' \cap A'') \implies y \in f(A')$, так же $y \in f(A'')$, что по определению означает $y \in f(A') \cap f(A'') \iff f(A' \cap A'') \subseteq f(A') \cap f(A'')$\\

б) $f(A' \cup A'') = f(A') \cup f(A'')$

Для любого $y \in f(A' \cup A'') \iff y = f(x)$, для какого-то $x \in A \cup B$, что по определению означает $y = f(x)$, для какого-то $x \in A'$ или $x \in A'' \iff y \in f(A')$ или $y \in f(A'') \iff y \in f(A') \cup f(A'')$\\

в) $f(A' \setminus A'') \neq f(A') \setminus f(A'')$

Пусть $A' = \mathbb{R},\, A'' = [0; \infty)$ и $f: x \rightarrow x^2$. Но тогда $f(A' \setminus A'') = (0; \infty)$, при $f(A') \setminus f(A'') = \varnothing$\\ 

Но при этом $f(A' \setminus A'') \supseteq f(A') \setminus f(A'')$

Пусть $y \in f(A') \setminus f(A'')$ тогда по определению разности множеств, $y \in f(A')$ и $y \notin f(A'')$. Так как $y \in f(A')$, то существует некоторое $x \in A'$ такое, что $y = f(x)$. При этом очевидно $x \notin A''$, так как иначе $y = f(x) \in f(A'')$, что по условию не так. Поэтому $x \in A' \setminus A''$, а $y = f(x) \in f(A' \setminus A'')$. Что по определению означает $f(A' \setminus A'') \supseteq f(A') \setminus f(A'')$\\

г) $f^{-1}(B' \cap B'') = f^{-1}(B') \cap f^{-1}(B'')$

Предположим $x \in f^{-1}(B' \cap B'')$. Тогда $f(x) \in B' \cap B''$, что по определению означает $f(x) \in B'$ и $f(x) \in B''$, следовательно $x \in f^{-1}(B')$ и $x \in f^{-1}(B'')$. Тем самым $x \in f^{-1}(B') \cap f^{-1}(B'')$, что означает $f^{-1}(B' \cap B'') \subseteq f^{-1}(B') \cap f^{-1}(B'')$

Пусть $x \in f^{-1}(B') \cap f^{-1}(B'')$, тогда $x \in f^{-1}(B')$ и $x \in f^{-1}(B'')$, так что $f(x) \in B'$ и $f(x) \in B''$, следовательно $f(x) \in B' \cap B''$. Что означает $x \in f^{-1}(B' \cap B'')$, что по определению означает $f^{-1}(B' \cap B'') \supseteq f^{-1}(B') \cap f^{-1}(B'')$

Тем самым $f^{-1}(B' \cap B'') = f^{-1}(B') \cap f^{-1}(B'')$\\

д) $f^{-1}(B' \cup B'') = f^{-1}(B') \cup f^{-1}(B'')$

Предположим $x \in f^{-1}(B' \cup B'')$. Тогда $f(x) \in B' \cup B''$, что по определению означает $f(x) \in B'$ или $f(x) \in B''$, следовательно $x \in f^{-1}(B')$ или $x \in f^{-1}(B'')$. Тем самым $x \in f^{-1}(B') \cup f^{-1}(B'')$, что означает $f^{-1}(B' \cup B'') \subseteq f^{-1}(B') \cup f^{-1}(B'')$

Пусть $x \in f^{-1}(B') \cup f^{-1}(B'')$, тогда $x \in f^{-1}(B')$ или $x \in f^{-1}(B'')$, так что $f(x) \in B'$ или $f(x) \in B''$, следовательно $f(x) \in B' \cup B''$. Что означает $x \in f^{-1}(B' \cup B'')$, что по определению означает $f^{-1}(B' \cup B'') \supseteq f^{-1}(B') \cap f^{-1}(B'')$

Тем самым $f^{-1}(B' \cup B'') = f^{-1}(B') \cup f^{-1}(B'')$\\

e) $f^{-1}(B' \setminus B'') = f^{-1}(B') \setminus f^{-1}(B'')$

Пусть $x \in f^{-1}(B' \setminus B'') \iff f(x) \in B' \setminus B''$, что равнозначно $f(x) \in B'$ и $f(x) \notin B'' \iff x \in f^{-1}(B')$ и $x \notin f^{-1}(B'') \iff x \in f^{-1}(B') \setminus f^{-1}(B'')$

Тем самым $f^{-1}(B' \setminus B'') = f^{-1}(B') \setminus f^{-1}(B'')$\\

ж) $f^{-1}(f(A')) \not\subset A'$

Пусть $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{1, 2\}, f(1) = 1, f(2) = f(3) = 2$ и пусть $A' = \{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}$

\[f(A') = \{1, 2\} \implies f^{-1}(f(A')) = \{1,2,3\} \neq A'\]

з) $f^{-1}(f(A)) \supset A'$

Пусть $x \in A'$, тогда $f(x) \in f(A')$, следовательно $x = f^{-1}(f(x)) \subset f^{-1}(f(A'))$. Тем самым, $f^{-1}(f(A')) \supset A'$\\

и) $f(f^{-1}(B')) \subset B'$

Пусть $y \in f(f^{-1}(B'))$, тогда $f^{-1}(y) \subset f^{-1}(B')$, следовательно $f(f^{-1}(y)) \subset f(f^{-1}(B')) = B'$. Тем самым $f(f^{-1}(B')) \subset B'$\\

к) $f(f^{-1}(B')) \not\supset B'$

Пусть $f: \{1,2\} \rightarrow \{1,2\}, f(1) = f(2) = 1$ и пусть $B' = \{1,2\} \subset \{1,2\}$

\[f^{-1}(B') = \{1,2\} \implies f(f^{-1}(B')) = \{1\} \neq B'\]

л, м) Верность равенств следует строго из определения

\subsection*{61}

1) Доказать, что $f$ - инъекция тогда и только тогда, когда $\exists g$ - левая обратная функция

Пусть $f: A \rightarrow B$ - функция, у которой $\exists g$ - левая обратная, покажем что это вложение. Пусть $\exists x, y \in A: f(x) = f(y)$. Тогда $g(f(x)) = g(f(x))$, а так как $gf = id$, то из этого следует, что $x = y$. Тогда $f$ - вложение

Пусть $f: A \rightarrow B$ - вложение, покажем что тогда для нее существует левая обратная функция. Тогда построим левую обратную функцию по такому правилу

\begin{equation*}
g(y) =
    \begin{cases}
        x : f(x) = y, & \text{при том, что такой } x \text{ существует}\\
        id, & \text{если такого } x \text{ не существует}
    \end{cases}
\end{equation*}

Тем самым, в первом случае, так как функция инъективна, то если $g(y) = x_1$ и $g(y) = x_2$, значит $y = f(x_1) = f(x_2)$, из чего следует, что $x_1 = x_2$. А во втором случае все и так хорошо)

\subsection*{63}

Пусть для некоторой функции $f$ есть левая обратная $g$ и правая обратная $h$. Тогда по определению $g(f(x)) = x$ и $f(h(x)) = x$, то тогда $g(x) = g(f(h(x))) = h(x)$, тем самым мы показали, что $h$ и $g$ должны быть одинаковы

\subsection*{65}

$\{\{\varnothing, \{x_1\}\}, \{\{y_1\}\}\} = \{\{\varnothing, \{x_2\}\}, \{\{y_2\}\}\} \iff x_1 = x_2$ и $y_1 = y_2$

При $x_1 = x_2$ и $y_1 = y_2$ - равенство очевидно

Пусть $\{\{\varnothing, \{x_1\}\}, \{\{y_1\}\}\} = \{\{\varnothing, \{x_2\}\}, \{\{y_2\}\}\}$, покажем тогда $x_1 = x_2$ и $y_1 = y_2$. Если множества равны то при том, что $\{\varnothing, \{x_1\}\}$ содержится в левой части, то оно должно содержаться и в правой. При этом $\{\varnothing, \{x_1\}\}$ не может быть равным $\{\{y_2\}\}$, так как двухэлементное множество не может быть равным одноэлементному, тогда $\{\varnothing, \{x_1\}\} = \{\varnothing, \{x_2\}\}$, при этом подразумевается, что $x_1$ и $x_2$ - не пусты, значит $\{x_1\} \neq \varnothing$, тем самым $\{x_1\} = \{x_2\}$ из чего следует, что $x_1 = x_2$.

При этом из того что $\{\varnothing, \{x_1\}\} = \{\varnothing, \{x_2\}\}$ следует $\{\{y_1\}\} = \{\{y_2\}\}$, из чего стремительно следует $\{y_1\} = \{y_2\}$, из чего не менее стремительно следует $y_1 = y_2$